Научно-технический форум SciTecLibrary - Забавный закон сохранения

(Модераторы: E-Eater, peregoudovd)

‹ Предыдущая тема | Следующая тема ›

Страниц: 1 2 3 4

Забавный закон сохранения (Прочитано 9918 раз)

Snowman

Ветеран форума

Вне Форума

aka Issam

Сообщений: 9896
far far away :)
Пол: male

Забавный закон сохранения
20.11.08 :: 11:55:23

Ковырялся я вчера целый день с моделированием движения цепочки, замкнутой в кольцо и имеющей произвольную форму. Все звенья цепочки имеют равные скорости, направленные по касательной к цепочке.

Моделировением это достигается очень просто: надо погонять достаточное время на некоторой конфигурации блоков, пока не установится стационарный характер движения. После этого я убирал блоки, выключал поле тяжести, сохраняя полностью движение цепочки, и наблюдал поведение цепочки в невесомости.

Получилось достаточно забавно, движущаяся цепочка сохраняет свою форму:

Наверх

« Последняя редакция: 20.11.08 :: 11:57:02 от Snowman »

chain_conservation_001.gif (15 KB | )

В решеньи задач, по общему мнению, вся соль... но я полагаю иначе.
Соль в том, чтобы, зная решение, найти подходящую задачу!

IP записан

Furax Экс-Участник	Re: Забавный закон сохранения Ответ #1 - 20.11.08 :: 12:03:19 А почему её центробежная сила не растягивает до окружности?
Наверх	IP записан

Snowman

Ветеран форума

Вне Форума

aka Issam

Сообщений: 9896
far far away :)
Пол: male

Re: Забавный закон сохранения
Ответ #2 - 20.11.08 :: 12:05:22

Максимальное расстояние между звеньями цепочки - около 15 м, скорости звеньев - 3.5 м/с.

к сожалению, на самом деле поле скоростей получилось не совсем одинаковым по модулю, скорости варьировались в диапазоне от 3.43 м/с до 3.58 м/с - это чуть более чем 4% разброс!

В результате конфигурация цепочки все-таки медленно меняется, и за 100 секунд слегка сместилась - примерно на 1.5 метра (т.е. средняя скорость 1.5 см/с, что примерно 10% от разброса скоростей) и повернулась на 2.5 градуса,
при этом форма с хорошей точностью сохранилась.

Кстати, компьютерные погрешности так же вносят очень ощутимый вклад, нарушая сохранение формы.

Наверх

« Последняя редакция: 20.11.08 :: 18:22:19 от Snowman »

chain_conservation.png (6 KB | )

IP записан

Snowman

Ветеран форума

Вне Форума

aka Issam

Сообщений: 9896
far far away :)
Пол: male

Re: Забавный закон сохранения
Ответ #3 - 20.11.08 :: 12:09:25

Цитата:

А почему её центробежная сила не растягивает до окружности?

Ну это Вы уже сами подумайте

Кстати, достаточно легко доказать сохранение площади фигуры, образуемой цепочкой из очень большого числа звеньев, движущейся без потерь при указанных выше начальных условиях.

Уже поэтому "сосиска" не может "распухнуть" в окружность.

А сохранение формы - это, конечно, уже весьма нетривиально.

Наверх

IP записан

Munin

Частый участник форума

Вне Форума

Сообщений: 689

Re: Забавный закон сохранения
Ответ #4 - 20.11.08 :: 18:00:02

Не исключено, что сохранения нет, а просто вы наткнулись на какое-то иерархическое соотношение между скоростями процессов, и самый медленный при своём моделировании просто не видите.

Наверх

IP записан

Snowman Ветеран форума Вне Форума aka Issam Сообщений: 9896 far far away :) Пол:	Re: Забавный закон сохранения Ответ #5 - 20.11.08 :: 18:32:29 А какие, например, процессы?
Наверх	В решеньи задач, по общему мнению, вся соль... но я полагаю иначе. Соль в том, чтобы, зная решение, найти подходящую задачу! IP записан

peregoudovd

Модератор темы

Вне Форума

альт. наука= невежество+
глупость+ конспирология

Сообщений: 13622
Москва
Пол: male

Re: Забавный закон сохранения
Ответ #6 - 20.11.08 :: 20:13:36

Чего-то я не понял, о чем тема. Предлагается доказать "закон сохранения площади" для цепочки? Или существование стационарных решений?

Я так понял, у нас двумерный случай? Представляя цепочку как совокупность одинаковых массивных шариков, связанных невесомыми стержнями на шарнирах, в непрерывном пределе получим кинетическую энергию

$E=\int_0^{2\pi}\frac12\left(\frac{\partial{\bf r}}{\partial t}\right)^2ds$

при дополнительном условии

$\left(\frac{\partial{\bf r}}{\partial s}\right)^2=1.$

Здесь s --- координата вдоль цепочки. Соответственно лагранжиан равен

$L=\frac12\left(\frac{\partial{\bf r}}{\partial t}\right)^2-\frac\lambda2 \left[\left(\frac{\partial{\bf r}}{\partial s}\right)^2-1\right],$

а лагранжевы уравнения имеют вид

$\frac{\partial^2{\bf r}}{\partial t^2}- \frac{\partial}{\partial s}\lambda\frac{\partial{\bf r}}{\partial s}=0, \quad \left(\frac{\partial{\bf r}}{\partial s}\right)^2=1.$

Видно, что лагранжев множитель $\lambda$ имеет смысл натяжения цепочки. Легко доказать законы сохранения импульса

${\bf P}=\int_0^{2\pi}\frac{\partial{\bf r}}{\partial t}\,ds,$

момента импульса

${\bf M}=\int_0^{2\pi}{\bf r}\times\frac{\partial{\bf r}}{\partial t}\,ds$

и энергии E. А вот как доказать сохранение площади

${\bf S}=\int_0^{2\pi}{\bf r}\times\frac{\partial{\bf r}}{\partial s}\,ds$

--- ума не приложу Нерешительный

Предел $2\pi$ --- намек на возможность разложения в ряд Фурье, но там ничего хорошего не видно. Можно еще попробовать какие-нибудь экзотические описания кривой, например, зависимостью радиуса кривизны R(s) Ужас

Стационарные решения соответствуют ${\bf r}(t,s)={\bf r}(s-vt)$ . Вроде из уравнений очевидно, что имеется единственный случай $\lambda=v^2=\textrm{const}$ , при этом форма цепочки вообще произвольна.

20.11.08 :: 20:55:21
Площадь не сохраняется. Ее производная по времени равна

$\dot S=-2\int_0^{2\pi}v_n\,ds=-2\int_0^{2\pi}R\frac{\partial v_\tau}{\partial s}\,ds,$

где $v_{n,\tau}$ --- нормальная и тангенциальная компоненты скорости, нормаль левая, R --- радиус кривизны цепочки, при преобразовании использовано соотношение $\partial v_\tau/\partial s=v_n/R$ , которое получается дифференцированием связи $(\partial{\bf r}/\partial s)^2=1$ . Начальную форму цепочки (то есть R) и начальную тангенциальную скорость мы можем задавать произвольно, их, очевидно, можно подобрать так, чтобы интеграл был отличен от нуля.

Наверх

« Последняя редакция: 20.11.08 :: 23:26:58 от peregoudovd »

В теории относительности нет ошибок, есть люди, которым кажется, что ошибки есть

Увы, для тупых везде тупик. Но это их тупик, а не тупик науки... (c) Issam
У альта нет ни ума, ни совести

IP записан

Munin

Частый участник форума

Вне Форума

Сообщений: 689

Re: Забавный закон сохранения
Ответ #7 - 20.11.08 :: 22:20:31

Если $v_\tau=\mathop{\mathrm{const}}(s),$ то площадь сохраняется. В начальных условиях можно такое задать. Будет ли это выполняться при дальнейшей эволюции?

Вообще для цепочки можно записать волновое уравнение для малых отклонений от фоновой формы (оно будет нелинейным), и посмотреть, какие по нему будут ходить возбуждения. Например, если возбуждения не будут расти, то это будет соответствовать "почти" сохраняющейся форме.

А с другой стороны. физически Furax прав: разогнанная нить должна растянуться в окуржность, возможно, с колебаниями вокруг этого состояния как положения равновесия.

Наверх

IP записан

Snowman

Ветеран форума

Вне Форума

aka Issam

Сообщений: 9896
far far away :)
Пол: male

Re: Забавный закон сохранения
Ответ #8 - 21.11.08 :: 08:29:03

peregoudovd писал(а) 20.11.08 :: 20:13:36:

Я так понял, у нас двумерный случай?

Для начала

peregoudovd писал(а) 20.11.08 :: 20:13:36:

Площадь не сохраняется. Ее производная по времени равна

$\dot S=-2\int_0^{2\pi}v_n\,ds=-2\int_0^{2\pi}R\frac{\partial v_\tau}{\partial s}\,ds,$

где $v_{n,\tau}$ --- нормальная и тангенциальная компоненты скорости, нормаль левая, R --- радиус кривизны цепочки, при преобразовании использовано соотношение $\partial v_\tau/\partial s=v_n/R$ , которое получается дифференцированием связи $(\partial{\bf r}/\partial s)^2=1$ . Начальную форму цепочки (то есть R) и начальную тангенциальную скорость мы можем задавать произвольно, их, очевидно, можно подобрать так, чтобы интеграл был отличен от нуля.

Да, но можно задать начальную нормальную скорость везде равной нулю:
Цитата:

Все звенья цепочки имеют равные скорости, направленные по касательной к цепочке.

Тогда радиус кривизны уже не важен

peregoudovd писал(а) 20.11.08 :: 20:13:36:

Тут можно заметить, что натяжение цепочки мгновенно подстраивается под конфигурацию, если цепочка нерастяжимая. Если задается кинематическая связь, то сила уже будет следствием из нее. Так что натяжение цепочки примет то значение, какое надо Класс

А пока ловите результат новой симуляции, здесь вычисления проделаны со значительно меньшими временным и пространственным шагами, так что погрешности вычисления должны быть поменьше. Правда, скорости так и не удалось все направить строго по касательной и сделать все равными: разброс составил чуть более 3% (от 0.133 до 0.138 м/с), масштаб конфигурации - почти 9 м по горизонтали. Изменение за почти полоборота цепочки (черная цепочка - начальное положение):

Наверх

« Последняя редакция: 21.11.08 :: 10:44:31 от Snowman »

chain_conservation-.png (6 KB | )

IP записан

Snowman

Ветеран форума

Вне Форума

aka Issam

Сообщений: 9896
far far away :)
Пол: male

Re: Забавный закон сохранения
Ответ #9 - 21.11.08 :: 09:24:37

Вот тут детальнее разрисована эволюция за один оборот, разбитая на пять интервалов (6 картинок).
Начальное состояние изображено черным цветом, затем более поздние состояния изображены более светлым тоном. Финальное состояние - желтым цветом.

Видно, что форма неплохо сохраняется, если принять во внимание некоторую постоянную компоненту (вроде дрейфа), которую можно связать с неидеальностью начальных условий и погрешностями вычисления.
Также можно заметить, что конфигурация медленно движется вправо и вращается по часовой стрелке, это выглядит так, что она как бы медленно поворачивается вокруг своего левого нижнего угла.

Наверх

« Последняя редакция: 21.11.08 :: 09:29:46 от Snowman »

chain_conservation_002.png (17 KB | )

IP записан

Страниц: 1 2 3 4

‹ Предыдущая тема | Следующая тема ›

	Добро пожаловать, Гость. Пожалуйста, выберите Вход или Регистрация	ПОМОЩЬ В ПАТЕНТОВАНИИ	СТАТЬИ И ПУБЛИКАЦИИ	Научно-техническая библиотека	Правила форума